一、常微分方程的基本概念

1. 微分方程：含有未知函数、未知函数的导数或微分与自变量的方程称为微分方程，简称方程，$n$ 阶微分方程的一般形式：$F(x,y,y',y'',\cdots,y^{(n)}) = 0$。

2. 微分方程的阶：微分方程中所出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶。

3. 微分方程的解：满足微分方程的函数，称为该方程的解。

4. 微分方程的通解：如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，则称之为微分方程的通解。

5. 微分方程的特解：微分方程的不含任意常数的解，称之为特解。

6. 初始条件：确定特解的一组常数称为初始条件。

7. 积分曲线：方程的一个解在平面上对应一条曲线，称为该微分方程的积分曲线。

三重积分

向量代数

1. 数量积

(1) 几何表示.
$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = |\boldsymbol{a}| |\boldsymbol{b}| \cos \alpha,$
$\alpha$ 为 $\boldsymbol{a}$ 和 $\boldsymbol{b}$ 的夹角.

一、级数的概念与性质

1. 级数的概念

设 ${u_n}$ 是一数列，则表达式

1. 二重积分的概念

定义：设函数 $z = f(x,y)$ 在有界闭区域 $D$ 上有定义，将区域 $D$ 任意分成 $n$ 个小闭区域

二元函数的极限与连续性

一元函数与二元函数的区别

• 一元函数：函数只依赖于一个自变量，其定义域是数轴上点的集合。

• 二元函数：函数依赖于两个自变量，其定义域是平面上点的集合，比如可以用来表示位置（经度、纬度）等涉及两个变量的情况。

二元函数定义

设$D$是平面上的一个点集，若对每个点$P(x,y) \in D$，变量$z$按照某一对应法则$f$有一个确定的值与之对应，则称$z$为$x,y$的二元函数，记为$z = f(x,y)$。其中点集$D$称为该函数的定义域，$x,y$称为自变量，$z$称为因变量。函数值$f(x,y)$的全体所构成的集合称为函数$f$的值域，记为$f(D)$。通常情况下，二元函数$z = f(x,y)$在几何上表示一张空间曲面。

一、定积分的定义

设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上有定义且有界。

微分中值定理

费马引理

设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，如果函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处取得极值，那么 $f'(x_0) = 0$。

定义：设 $x$ 和 $y$ 是两个变量，$D$ 是一个给定的数集。如果对于每个数 $x \in D$，按照一定的法则总有一个确定的数值 $y$ 和它对应，则称 $y$ 是 $x$ 的函数，记为$y = f(x), x \in D$