n n n n n n a 1 , a 2 , … , a n a_1,a_2,\dots,a_n a 1 , a 2 , … , a n n维向量 ，记作：α = ( a 1 , a 2 , … , a n ) T \boldsymbol{\alpha} = (a_1,a_2,\dots,a_n)^T α = ( a 1 , a 2 , … , a n ) T α = ( a 1 , a 2 , … , a n ) \boldsymbol{\alpha} = (a_1,a_2,\dots,a_n) α = ( a 1 , a 2 , … , a n ) a 1 , a 2 , … , a n a_1,a_2,\dots,a_n a 1 , a 2 , … , a n α \boldsymbol{\alpha} α 分量（或坐标） 。向量相等 ：α = β ⟺ α , β 同维，且 a i = b i , i = 1 , 2 , … , n \boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{\beta} \iff \boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta} \text{ 同维，且 } a_i = b_i,\ i=1,2,\dots,n α = β ⟺ α , β 同维，且 a i = b i , i = 1 , 2 , … , n
设 α = ( a 1 , … , a n ) , β = ( b 1 , … , b n ) \boldsymbol{\alpha}=(a_1,\dots,a_n),\ \boldsymbol{\beta}=(b_1,\dots,b_n) α = ( a 1 , … , a n ) , β = ( b 1 , … , b n ) k k k α + β = ( a 1 + b 1 , … , a n + b n ) \boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta}=(a_1+b_1,\dots,a_n+b_n) α + β = ( a 1 + b 1 , … , a n + b n ) k α = ( k a 1 , k a 2 , … , k a n ) k\boldsymbol{\alpha}=(ka_1,ka_2,\dots,ka_n) k α = ( k a 1 , k a 2 , … , k a n )
交换律 ：α + β = β + α \boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\beta} = \boldsymbol{\beta} + \boldsymbol{\alpha} α + β = β + α 结合律 ：( α + β ) + γ = α + ( β + γ ) (\boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\beta}) + \boldsymbol{\gamma} = \boldsymbol{\alpha} + (\boldsymbol{\beta} + \boldsymbol{\gamma}) ( α + β ) + γ = α + ( β + γ ) 零向量单位元 ：α + 0 = 0 + α = α \boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{0} = \boldsymbol{0} + \boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{\alpha} α + 0 = 0 + α = α 0 \boldsymbol{0} 0 n n n 负向量逆元 ：α + ( − α ) = ( − α ) + α = 0 \boldsymbol{\alpha} + (-\boldsymbol{\alpha}) = (-\boldsymbol{\alpha}) + \boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{0} α + ( − α ) = ( − α ) + α = 0 0 \boldsymbol{0} 0 n n n 数乘单位元 ：1 ⋅ α = α 1 \cdot \boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{\alpha} 1 ⋅ α = α 数乘结合律 ：( k l ) α = k ( l α ) = l ( k α ) (kl)\boldsymbol{\alpha} = k(l\boldsymbol{\alpha}) = l(k\boldsymbol{\alpha}) ( k l ) α = k ( l α ) = l ( k α ) 数乘对向量加法的分配律 ：k ( α + β ) = k α + k β k(\boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\beta}) = k\boldsymbol{\alpha} + k\boldsymbol{\beta} k ( α + β ) = k α + k β 数乘对数加法的分配律 ：( k + l ) α = k α + l α (k + l)\boldsymbol{\alpha} = k\boldsymbol{\alpha} + l\boldsymbol{\alpha} ( k + l ) α = k α + l α (i) 移项规则：
α + β = γ ⟺ α = γ − β ⟺ β = γ − α \boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\beta} = \boldsymbol{\gamma} \iff \boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{\gamma} - \boldsymbol{\beta} \iff \boldsymbol{\beta} = \boldsymbol{\gamma} - \boldsymbol{\alpha} α + β = γ ⟺ α = γ − β ⟺ β = γ − α
(ii) 零向量判定：
k α = 0 ⟺ k = 0 或 α = 0 k\boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{0} \iff k = 0 \text{ 或 } \boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{0} k α = 0 ⟺ k = 0 或 α = 0
（其中k k k α \boldsymbol{\alpha} α
线性组合 ：设有 m m m n n n α 1 , α 2 , … , α m \boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\dots,\boldsymbol{\alpha}_m α 1 , α 2 , … , α m m m m k 1 , k 2 , … , k m k_1,k_2,\dots,k_m k 1 , k 2 , … , k m
k 1 α 1 + k 2 α 2 + ⋯ + k m α m k_1\boldsymbol{\alpha}_1 + k_2\boldsymbol{\alpha}_2 + \dots + k_m\boldsymbol{\alpha}_m k 1 α 1 + k 2 α 2 + ⋯ + k m α m
称为向量 α 1 , α 2 , … , α m \boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\dots,\boldsymbol{\alpha}_m α 1 , α 2 , … , α m k 1 , k 2 , … , k m k_1,k_2,\dots,k_m k 1 , k 2 , … , k m 系数 。线性表出 ：若向量 β \boldsymbol{\beta} β α 1 , α 2 , … , α m \boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\dots,\boldsymbol{\alpha}_m α 1 , α 2 , … , α m
β = k 1 α 1 + k 2 α 2 + ⋯ + k m α m \boldsymbol{\beta} = k_1\boldsymbol{\alpha}_1 + k_2\boldsymbol{\alpha}_2 + \dots + k_m\boldsymbol{\alpha}_m β = k 1 α 1 + k 2 α 2 + ⋯ + k m α m
则称 β \boldsymbol{\beta} β α 1 , α 2 , … , α m \boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\dots,\boldsymbol{\alpha}_m α 1 , α 2 , … , α m
β \beta β α 1 , … , α s \alpha_1, \dots, \alpha_s α 1 , … , α s ⟺ \iff ⟺ A x = β Ax=\beta A x = β
向量的表示情况 对应的方程组解的情况 可以表示 有解 不可以表示 无解 可以唯一地表示 唯一解 可以表示，但不唯一 无穷多的解
零向量是任意向量组的线性组合。 向量组 α 1 , α 2 , … , α n \alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n α 1 , α 2 , … , α n α j ( 1 ≤ j ≤ n ) \alpha_j (1 \le j \le n) α j ( 1 ≤ j ≤ n ) e.g. α 1 , α 2 , α 3 \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 α 1 , α 2 , α 3 α 2 = 0 α 1 + 1 α 2 + 0 α 3 \alpha_2 = 0\alpha_1 + 1\alpha_2 + 0\alpha_3 α 2 = 0 α 1 + 1 α 2 + 0 α 3 任何一个 n n n α = ( a 1 , a 2 , … , a n ) \alpha=(a_1, a_2, \dots, a_n) α = ( a 1 , a 2 , … , a n ) n n n n n n ε 1 = ( 1 , 0 , 0 , … , 0 ) , ε 2 = ( 0 , 1 , 0 , … , 0 ) , … , ε n = ( 0 , … , 0 , 1 ) \varepsilon_1=(1,0,0,\dots,0), \varepsilon_2=(0,1,0,\dots,0), \dots, \varepsilon_n=(0,\dots,0,1) ε 1 = ( 1 , 0 , 0 , … , 0 ) , ε 2 = ( 0 , 1 , 0 , … , 0 ) , … , ε n = ( 0 , … , 0 , 1 ) α = a 1 ε 1 + a 2 ε 2 + ⋯ + a n ε n \alpha = a_1\varepsilon_1 + a_2\varepsilon_2 + \dots + a_n\varepsilon_n α = a 1 ε 1 + a 2 ε 2 + ⋯ + a n ε n
（组合系数即为 α \alpha α 定义 3.7： 给定向量组 α 1 , α 2 , … , α n \alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n α 1 , α 2 , … , α n 一组不全为零 的数 k 1 , k 2 , … , k n k_1, k_2, \dots, k_n k 1 , k 2 , … , k n
k 1 α 1 + k 2 α 2 + ⋯ + k n α n = 0 k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \dots + k_n\alpha_n = 0 k 1 α 1 + k 2 α 2 + ⋯ + k n α n = 0
则称向量组 α 1 , α 2 , … , α n \alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n α 1 , α 2 , … , α n 线性相关 ，而称 k 1 , k 2 , … , k n k_1, k_2, \dots, k_n k 1 , k 2 , … , k n α 1 , α 2 , … , α n \alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n α 1 , α 2 , … , α n 线性无关 。
m m m n n n α 1 , α 2 , … , α m \boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\dots,\boldsymbol{\alpha}_m α 1 , α 2 , … , α m
对任意不全为零 的数 k 1 , k 2 , … , k m k_1,k_2,\dots,k_m k 1 , k 2 , … , k m k 1 α 1 + k 2 α 2 + ⋯ + k m α m ≠ 0 . k_1\boldsymbol{\alpha}_1 + k_2\boldsymbol{\alpha}_2 + \dots + k_m\boldsymbol{\alpha}_m \neq \boldsymbol{0}. k 1 α 1 + k 2 α 2 + ⋯ + k m α m = 0 .
当且仅当 k 1 = k 2 = ⋯ = k m = 0 k_1 = k_2 = \dots = k_m = 0 k 1 = k 2 = ⋯ = k m = 0 k 1 α 1 + k 2 α 2 + ⋯ + k m α m = 0 k_1\boldsymbol{\alpha}_1 + k_2\boldsymbol{\alpha}_2 + \dots + k_m\boldsymbol{\alpha}_m = \boldsymbol{0} k 1 α 1 + k 2 α 2 + ⋯ + k m α m = 0
成立。 不存在不全为零的数 k 1 , k 2 , … , k m k_1,k_2,\dots,k_m k 1 , k 2 , … , k m k 1 α 1 + k 2 α 2 + ⋯ + k m α m = 0 k_1\boldsymbol{\alpha}_1 + k_2\boldsymbol{\alpha}_2 + \dots + k_m\boldsymbol{\alpha}_m = \boldsymbol{0} k 1 α 1 + k 2 α 2 + ⋯ + k m α m = 0
成立。ε 1 = ( 1 , 0 , … , 0 ) , ε 2 = ( 0 , 1 , 0 , … , 0 ) , … , ε n = ( 0 , 0 , … , 0 , 1 ) \boldsymbol{\varepsilon}_1 = (1,0,\dots,0),\ \boldsymbol{\varepsilon}_2 = (0,1,0,\dots,0),\ \dots,\ \boldsymbol{\varepsilon}_n = (0,0,\dots,0,1) ε 1 = ( 1 , 0 , … , 0 ) , ε 2 = ( 0 , 1 , 0 , … , 0 ) , … , ε n = ( 0 , 0 , … , 0 , 1 ) 单个向量是非零向量时，是线性无关的；两个向量不成比例时，是线性无关的。 显然含有零向量，或相等向量或成比例向量的向量组是线性相关的；单个向量时，零向量是线性相关的。 两个非零向量 α \boldsymbol{\alpha} α β \boldsymbol{\beta} β ⟺ \iff ⟺ α \boldsymbol{\alpha} α β \boldsymbol{\beta} β 如果向量组中有一部分向量（称为部分组）线性相关，则该向量组线性相关。 若向量组线性无关，则其任一部分组也线性无关。 定义回顾 举例推导 α 1 , α 2 , α 3 \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 α 1 , α 2 , α 3 α 1 , α 2 \alpha_1,\alpha_2 α 1 , α 2 k 1 α 1 + k 2 α 2 = 0 k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 = \boldsymbol{0} k 1 α 1 + k 2 α 2 = 0 k 1 α 1 + k 2 α 2 + 0 ⋅ α 3 = 0 k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + 0\cdot\alpha_3 = \boldsymbol{0} k 1 α 1 + k 2 α 2 + 0 ⋅ α 3 = 0 k 1 = 0 , k 2 = 0 k_1=0,\ k_2=0 k 1 = 0 , k 2 = 0 α 1 , α 2 \alpha_1,\alpha_2 α 1 , α 2
含有零向量的向量组必线性相关。 n n n 设 r r r α 1 , α 2 , … , α m \alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_m α 1 , α 2 , … , α m β 1 , β 2 , … , β m \beta_1, \beta_2, \dots, \beta_m β 1 , β 2 , … , β m α 1 , α 2 , … , α m \alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_m α 1 , α 2 , … , α m r + l r+l r + l β 1 , β 2 , … , β m \beta_1, \beta_2, \dots, \beta_m β 1 , β 2 , … , β m 原2维无关向量：α 1 = ( 1 2 ) , α 2 = ( 2 3 ) \alpha_1=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix},\alpha_2=\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix} α 1 = ( 1 2 ) , α 2 = ( 2 3 ) k 1 = k 2 = 0 k_1=k_2=0 k 1 = k 2 = 0 k 1 α 1 + k 2 α 2 = 0 k_1\alpha_1+k_2\alpha_2=\boldsymbol0 k 1 α 1 + k 2 α 2 = 0 β 1 = ( 1 2 5 1 ) , β 2 = ( 2 3 4 6 ) \beta_1=\begin{pmatrix}1\\2\\5\\1\end{pmatrix},\beta_2=\begin{pmatrix}2\\3\\4\\6\end{pmatrix} β 1 = 1 2 5 1 , β 2 = 2 3 4 6 k 1 β 1 + k 2 β 2 = 0 k_1\beta_1+k_2\beta_2=\boldsymbol0 k 1 β 1 + k 2 β 2 = 0 k 1 = k 2 = 0 k_1=k_2=0 k 1 = k 2 = 0
设 α 1 , α 2 , … , α m \alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_m α 1 , α 2 , … , α m r r r β 1 , β 2 , … , β m \beta_1, \beta_2, \dots, \beta_m β 1 , β 2 , … , β m r + l r+l r + l β 1 , β 2 , … , β m \beta_1, \beta_2, \dots, \beta_m β 1 , β 2 , … , β m α 1 , α 2 , … , α m \alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_m α 1 , α 2 , … , α m 若向量组中有两个向量成比例，则向量组必线性相关。 定理 3.1：向量 β \beta β α 1 , α 2 , … , α m \alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m α 1 , α 2 , … , α m
⟺ ∃ 实数 k 1 , k 2 , … , k m 使 k 1 α 1 + k 2 α 2 + ⋯ + k m α m = β \iff \exists \text{ 实数 } k_1,k_2,\dots,k_m \text{ 使 } k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \dots + k_m\alpha_m = \beta ⟺ ∃ 实数 k 1 , k 2 , … , k m 使 k 1 α 1 + k 2 α 2 + ⋯ + k m α m = β
⟺ 方程组 [ α 1 , α 2 , … , α m ] [ x 1 x 2 ⋮ x m ] = β 有解 \iff \text{ 方程组 } [\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m] \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_m \end{bmatrix} = \beta \text{ 有解} ⟺ 方程组 [ α 1 , α 2 , … , α m ] x 1 x 2 ⋮ x m = β 有解
⟺ 秩 r ( α 1 , α 2 , … , α m ) = r ( α 1 , α 2 , … , α m , β ) \iff \text{ 秩 } r(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m) = r(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m,\beta) ⟺ 秩 r ( α 1 , α 2 , … , α m ) = r ( α 1 , α 2 , … , α m , β )
定理 3.2：向量组 α 1 , α 2 , … , α m \alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m α 1 , α 2 , … , α m α j = ( a 1 j , a 2 j , … , a n j ) T , j = 1 , 2 , … , m \alpha_j = (a_{1j},a_{2j},\dots,a_{nj})^T, j=1,2,\dots,m α j = ( a 1 j , a 2 j , … , a nj ) T , j = 1 , 2 , … , m
⟺ 以 α j 为列向量的齐次线性方程组 x 1 α 1 + x 2 α 2 + ⋯ + x m α m = 0 \iff \text{ 以 } \alpha_j \text{ 为列向量的齐次线性方程组 } x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + \dots + x_m\alpha_m = 0 ⟺ 以 α j 为列向量的齐次线性方程组 x 1 α 1 + x 2 α 2 + ⋯ + x m α m = 0
即
{ a 11 x 1 + a 12 x 2 + ⋯ + a 1 m x m = 0 , a 21 x 1 + a 22 x 2 + ⋯ + a 2 m x m = 0 , … … a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + ⋯ + a n m x m = 0 \begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1m}x_m = 0, \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2m}x_m = 0, \\ \quad \dots \dots \\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \dots + a_{nm}x_m = 0 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ a 11 x 1 + a 12 x 2 + ⋯ + a 1 m x m = 0 , a 21 x 1 + a 22 x 2 + ⋯ + a 2 m x m = 0 , …… a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + ⋯ + a nm x m = 0
有非零解。推论 1 ：n n n n n n α 1 , α 2 , … , α n \alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n α 1 , α 2 , … , α n ⟺ \iff ⟺ ∣ α 1 , α 2 , … , α n ∣ = 0 |\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n| = 0 ∣ α 1 , α 2 , … , α n ∣ = 0 推论 2 ：任何 n + 1 n+1 n + 1 n n n 定理 3.3：
任何部分组 α 1 , α 2 , … , α r \alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_r α 1 , α 2 , … , α r ⇒ \Rightarrow ⇒ α 1 , α 2 , … , α r , … , α s \alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_r,\dots,\alpha_s α 1 , α 2 , … , α r , … , α s 整体组 α 1 , α 2 , … , α r , … , α s \alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_r,\dots,\alpha_s α 1 , α 2 , … , α r , … , α s ⇒ \Rightarrow ⇒ α 1 , α 2 , … , α r \alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_r α 1 , α 2 , … , α r 设 s ≥ r s \ge r s ≥ r α 1 , α 2 , … , α r \alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_r α 1 , α 2 , … , α r α 1 , α 2 , … , α r , … , α s \alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_r,\dots,\alpha_s α 1 , α 2 , … , α r , … , α s 部分组 ，α 1 , α 2 , … , α r , … , α s \alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_r,\dots,\alpha_s α 1 , α 2 , … , α r , … , α s 整体组 。
定理 3.4：延伸组与缩短组的相关性
α 1 , α 2 , … , α m \alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m α 1 , α 2 , … , α m ⇒ \Rightarrow ⇒ α ~ 1 , α ~ 2 , … , α ~ m \tilde{\alpha}_1,\tilde{\alpha}_2,\dots,\tilde{\alpha}_m α ~ 1 , α ~ 2 , … , α ~ m α ~ 1 , α ~ 2 , … , α ~ m \tilde{\alpha}_1,\tilde{\alpha}_2,\dots,\tilde{\alpha}_m α ~ 1 , α ~ 2 , … , α ~ m ⇒ \Rightarrow ⇒ α 1 , α 2 , … , α m \alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m α 1 , α 2 , … , α m 设 s ≥ r s \ge r s ≥ r
α 1 = [ a 11 , a 21 , … , a r 1 ] T , α 2 = [ a 12 , a 22 , … , a r 2 ] T , … , α m = [ a 1 m , a 2 m , … , a r m ] T \alpha_1 = [a_{11},a_{21},\dots,a_{r1}]^T,\ \alpha_2 = [a_{12},a_{22},\dots,a_{r2}]^T,\ \dots,\ \alpha_m = [a_{1m},a_{2m},\dots,a_{rm}]^T α 1 = [ a 11 , a 21 , … , a r 1 ] T , α 2 = [ a 12 , a 22 , … , a r 2 ] T , … , α m = [ a 1 m , a 2 m , … , a r m ] T
及
α ~ 1 = [ a 11 , a 21 , … , a r 1 , … , a s 1 ] T , α ~ 2 = [ a 12 , a 22 , … , a r 2 , … , a s 2 ] T , … , α ~ m = [ a 1 m , a 2 m , … , a r m , … , a s m ] T \tilde{\alpha}_1 = [a_{11},a_{21},\dots,a_{r1},\dots,a_{s1}]^T,\ \tilde{\alpha}_2 = [a_{12},a_{22},\dots,a_{r2},\dots,a_{s2}]^T,\ \dots,\ \tilde{\alpha}_m = [a_{1m},a_{2m},\dots,a_{rm},\dots,a_{sm}]^T α ~ 1 = [ a 11 , a 21 , … , a r 1 , … , a s 1 ] T , α ~ 2 = [ a 12 , a 22 , … , a r 2 , … , a s 2 ] T , … , α ~ m = [ a 1 m , a 2 m , … , a r m , … , a s m ] T
则称 α ~ 1 , α ~ 2 , … , α ~ m \tilde{\alpha}_1,\tilde{\alpha}_2,\dots,\tilde{\alpha}_m α ~ 1 , α ~ 2 , … , α ~ m α 1 , α 2 , … , α m \alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m α 1 , α 2 , … , α m 延伸组 （或称 α 1 , α 2 , … , α m \alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m α 1 , α 2 , … , α m α ~ 1 , α ~ 2 , … , α ~ m \tilde{\alpha}_1,\tilde{\alpha}_2,\dots,\tilde{\alpha}_m α ~ 1 , α ~ 2 , … , α ~ m 缩短组 ）。
定理 3.5：向量组 α 1 , α 2 , … , α s \alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s α 1 , α 2 , … , α s s ≥ 2 s \ge 2 s ≥ 2 ⟺ \iff ⟺ α i \alpha_i α i
必要性证明
向量组线性相关：存在不全为0的系数k 1 , k 2 , … , k m k_1,k_2,\dots,k_m k 1 , k 2 , … , k m k 1 α 1 + k 2 α 2 + ⋯ + k m α m = 0 k_1\boldsymbol{\alpha}_1+k_2\boldsymbol{\alpha}_2+\dots+k_m\boldsymbol{\alpha}_m=\boldsymbol{0} k 1 α 1 + k 2 α 2 + ⋯ + k m α m = 0
不妨设k 1 ≠ 0 k_1\neq0 k 1 = 0 k 1 k_1 k 1 α 1 = − k 2 k 1 α 2 − k 3 k 1 α 3 − ⋯ − k m k 1 α m \boldsymbol{\alpha}_1=-\frac{k_2}{k_1}\boldsymbol{\alpha}_2-\frac{k_3}{k_1}\boldsymbol{\alpha}_3-\dots-\frac{k_m}{k_1}\boldsymbol{\alpha}_m α 1 = − k 1 k 2 α 2 − k 1 k 3 α 3 − ⋯ − k 1 k m α m
充分性证明
假设α 1 = l 2 α 2 + l 3 α 3 + ⋯ + l m α m \boldsymbol{\alpha}_1=l_2\boldsymbol{\alpha}_2+l_3\boldsymbol{\alpha}_3+\dots+l_m\boldsymbol{\alpha}_m α 1 = l 2 α 2 + l 3 α 3 + ⋯ + l m α m 移项变形： 1 ⋅ α 1 − l 2 α 2 − l 3 α 3 − ⋯ − l m α m = 0 1\cdot\boldsymbol{\alpha}_1-l_2\boldsymbol{\alpha}_2-l_3\boldsymbol{\alpha}_3-\dots-l_m\boldsymbol{\alpha}_m=\boldsymbol{0} 1 ⋅ α 1 − l 2 α 2 − l 3 α 3 − ⋯ − l m α m = 0
式子中α 1 \boldsymbol{\alpha}_1 α 1 1 ≠ 0 1\neq0 1 = 0 α 1 \boldsymbol{\alpha}_1 α 1 m − 1 m-1 m − 1 定理 3.6：若向量组 α 1 , α 2 , … , α s \alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s α 1 , α 2 , … , α s α 1 , α 2 , … , α s , β \alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s,\beta α 1 , α 2 , … , α s , β β \beta β α 1 , α 2 , … , α s \alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s α 1 , α 2 , … , α s 定理 3.7：设有两个向量组（Ⅰ）α 1 , α 2 , … , α s \alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s α 1 , α 2 , … , α s β 1 , β 2 , … , β t \beta_1,\beta_2,\dots,\beta_t β 1 , β 2 , … , β t β i ( i = 1 , 2 , … , t ) \beta_i\ (i=1,2,\dots,t) β i ( i = 1 , 2 , … , t ) t > s t > s t > s β 1 , β 2 , … , β t \beta_1,\beta_2,\dots,\beta_t β 1 , β 2 , … , β t β i ( i = 1 , 2 , … , t ) \beta_i\ (i=1,2,\dots,t) β i ( i = 1 , 2 , … , t ) β 1 , β 2 , … , β t \beta_1,\beta_2,\dots,\beta_t β 1 , β 2 , … , β t t ≤ s t \le s t ≤ s
多数的向量可由少数的向量表示，那多数向量一定是线性相关的r = s r = s r = s
设向量组 α 1 , α 2 , … , α s \alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s α 1 , α 2 , … , α s α i 1 , α i 2 , … , α i r \alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\dots,\alpha_{i_r} α i 1 , α i 2 , … , α i r
α i 1 , α i 2 , … , α i r \alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\dots,\alpha_{i_r} α i 1 , α i 2 , … , α i r 向量组 α 1 , α 2 , … , α s \alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s α 1 , α 2 , … , α s 任意一个向量 ，都可由 α i 1 , α i 2 , … , α i r \alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\dots,\alpha_{i_r} α i 1 , α i 2 , … , α i r α i 1 , α i 2 , … , α i r \alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\dots,\alpha_{i_r} α i 1 , α i 2 , … , α i r α 1 , α 2 , … , α s \alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s α 1 , α 2 , … , α s 极大线性无关组 。 满足两个核心条件：线性无关 、向量个数最大
原向量组里其余任意向量都能被这个部分组线性表示； 从剩余向量里再任取一个加入该部分组，新组一定线性相关； 任意包含 r + 1 r+1 r + 1 仅含零向量的向量组，不存在线性无关组； 本身线性无关的向量组，它的极大线性无关组就是自身； 一个向量组的极大线性无关组不一定唯一 ； 向量组和它的任意一个极大线性无关组等价（证明过程见定理 3.6）； 同一向量组的任意两个极大线性无关组等价，且所含向量个数相等； 若向量组(Ⅰ)可由向量组(Ⅱ)线性表示，则向量组(Ⅰ)的极大无关组可由向量组(Ⅱ)的极大无关组线性表示； 等价的向量组，各自的极大线性无关组也等价。 推导逻辑：Ⅰ极大 ≅ \cong ≅ ≅ \cong ≅ ≅ \cong ≅ ≅ \cong ≅
无论行向量还是列向量，统一全部写到列 上； 只做初等行变换，将矩阵化为行最简形 ； 选出每行首元“1 1 1 初等行 变换不改变矩阵列 向量组的线性关系。列 变换不改变矩阵行 向量组的线性关系。
求向量组α 1 = ( 1 , − 2 , 2 , − 1 ) , α 2 = ( 2 , − 4 , 8 , 0 ) , α 3 = ( − 2 , 4 , − 2 , 3 ) , α 4 = ( 3 , − 6 , 0 , − 6 ) \alpha_1=(1,\ -2,\ 2,\ -1), \alpha_2=(2,\ -4,\ 8,\ 0),\alpha_3=(-2,\ 4,\ -2,\ 3), \alpha_4=(3,\ -6,\ 0,\ -6) α 1 = ( 1 , − 2 , 2 , − 1 ) , α 2 = ( 2 , − 4 , 8 , 0 ) , α 3 = ( − 2 , 4 , − 2 , 3 ) , α 4 = ( 3 , − 6 , 0 , − 6 )
向量组 α 1 , α 2 , … , α s \alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s α 1 , α 2 , … , α s α 1 , α 2 , … , α s \alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s α 1 , α 2 , … , α s 秩 ，记为 r ( α 1 , α 2 , … , α s ) r(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s) r ( α 1 , α 2 , … , α s )
向量组的秩唯一，数值等于其极大线性无关组所含向量的个数。 设向量组α _ 1 , α _ 2 , … , α _ s \alpha\_1,\alpha\_2,\dots,\alpha\_s α _1 , α _2 , … , α _ s 线性无关 ⟺ r ( α _ 1 , α _ 2 , … , α _ s ) = s \iff r(\alpha\_1,\alpha\_2,\dots,\alpha\_s)=s ⟺ r ( α _1 , α _2 , … , α _ s ) = s 线性相关 ⟺ r ( α _ 1 , α _ 2 , … , α _ s ) < s \iff r(\alpha\_1,\alpha\_2,\dots,\alpha\_s)<s ⟺ r ( α _1 , α _2 , … , α _ s ) < s 若向量组(Ⅰ)可由向量组(Ⅱ)线性表示，则 r ( Ⅰ ) ≤ r ( Ⅱ ) r(\text{Ⅰ}) \le r(\text{Ⅱ}) r ( Ⅰ ) ≤ r ( Ⅱ ) 互相等价的两个向量组，秩相等。 向量组的秩满足两条不等式： 秩 ≤ \le ≤ 秩 ≤ \le ≤ 若向量组秩为r r r r r r r r r 若向量组秩r > 0 r>0 r > 0 r r r 题目： 设向量组
α 1 = ( 1 , 1 , 2 , 1 ) , α 2 = ( 1 , 2 , 4 , 3 ) , α 3 = ( 1 , 4 , 8 , k ) \alpha_1=(1,1,2,1),\ \alpha_2=(1,2,4,3),\ \alpha_3=(1,4,8,k) α 1 = ( 1 , 1 , 2 , 1 ) , α 2 = ( 1 , 2 , 4 , 3 ) , α 3 = ( 1 , 4 , 8 , k ) ，且
r ( α 1 , α 2 , α 3 ) = 2 r(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=2 r ( α 1 , α 2 , α 3 ) = 2 ，则
k = k= k = ______。
将向量组按列构成矩阵，做初等行变换：
( 1 1 1 1 2 4 2 4 8 1 3 k ) → r 2 − r 1 r 3 − 2 r 1 r 4 − r 1 ( 1 1 1 0 1 3 0 2 6 0 2 k − 1 ) → r 3 − 2 r 2 r 4 − 2 r 2 ( 1 1 1 0 1 3 0 0 0 0 0 k − 7 ) \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \\ 2 & 4 & 8 \\ 1 & 3 & k \end{pmatrix} \xrightarrow[\substack{r_2-r_1 \\ r_3-2r_1 \\ r_4-r_1}]{} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 6 \\ 0 & 2 & k-1 \end{pmatrix} \xrightarrow[\substack{r_3-2r_2 \\ r_4-2r_2}]{} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & k-7 \end{pmatrix} 1 1 2 1 1 2 4 3 1 4 8 k r 2 − r 1 r 3 − 2 r 1 r 4 − r 1 1 0 0 0 1 1 2 2 1 3 6 k − 1 r 3 − 2 r 2 r 4 − 2 r 2 1 0 0 0 1 1 0 0 1 3 0 k − 7
由 r ( α 1 , α 2 , α 3 ) = 2 r(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=2 r ( α 1 , α 2 , α 3 ) = 2 k − 7 = 0 k-7=0 k − 7 = 0 k = 7 k=7 k = 7
两个向量组可以相互线性表示，则称这两个向量组等价；等价向量组所含向量个数不一定相等。
设记号 { α 1 , α 2 , … , α s } ≅ { β 1 , β 2 , … , β t } \{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s\} \cong \{\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_t\} { α 1 , α 2 , … , α s } ≅ { β 1 , β 2 , … , β t }
反身性 { α 1 , α 2 , α 3 } ≅ { α 1 , α 2 , α 3 } \{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\} \cong \{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\} { α 1 , α 2 , α 3 } ≅ { α 1 , α 2 , α 3 }
任意向量组与自身等价。对称性
{ α 1 , … , α s } ≅ { β 1 , … , β t } \{\alpha_1,\dots,\alpha_s\} \cong \{\beta_1,\dots,\beta_t\} { α 1 , … , α s } ≅ { β 1 , … , β t }
则必有
{ β 1 , … , β t } ≅ { α 1 , … , α s } \{\beta_1,\dots,\beta_t\} \cong \{\alpha_1,\dots,\alpha_s\} { β 1 , … , β t } ≅ { α 1 , … , α s }
传递性 (Ⅰ) α 1 , α 2 \alpha_1,\alpha_2 α 1 , α 2 (Ⅱ) β 1 , β 2 \beta_1,\beta_2 β 1 , β 2 (Ⅲ) γ 1 , γ 2 , γ 3 \gamma_1,\gamma_2,\gamma_3 γ 1 , γ 2 , γ 3 ( Ⅰ ) ≅ ( Ⅱ ) (\text{Ⅰ}) \cong (\text{Ⅱ}) ( Ⅰ ) ≅ ( Ⅱ ) ( Ⅱ ) ≅ ( Ⅲ ) (\text{Ⅱ}) \cong (\text{Ⅲ}) ( Ⅱ ) ≅ ( Ⅲ ) ( Ⅰ ) ≅ ( Ⅲ ) (\text{Ⅰ}) \cong (\text{Ⅲ}) ( Ⅰ ) ≅ ( Ⅲ ) 已知 α , β 1 , β 2 , β 3 , γ 1 , γ 2 \boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\beta}_3,\boldsymbol{\gamma}_1,\boldsymbol{\gamma}_2 α , β 1 , β 2 , β 3 , γ 1 , γ 2 n n n α \boldsymbol{\alpha} α β 1 , β 2 , β 3 \boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\beta}_3 β 1 , β 2 , β 3 β 1 , β 2 , β 3 \boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\beta}_3 β 1 , β 2 , β 3 γ 1 , γ 2 \boldsymbol{\gamma}_1,\boldsymbol{\gamma}_2 γ 1 , γ 2 α \boldsymbol{\alpha} α γ 1 , γ 2 \boldsymbol{\gamma}_1,\boldsymbol{\gamma}_2 γ 1 , γ 2
证明
α \boldsymbol{\alpha} α β 1 , β 2 , β 3 \boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\beta}_3 β 1 , β 2 , β 3 k 1 , k 2 , k 3 k_1,k_2,k_3 k 1 , k 2 , k 3 α = k 1 β 1 + k 2 β 2 + k 3 β 3 (1) \boldsymbol{\alpha}=k_1\boldsymbol{\beta}_1+k_2\boldsymbol{\beta}_2+k_3\boldsymbol{\beta}_3 \tag{1} α = k 1 β 1 + k 2 β 2 + k 3 β 3 ( 1 )
β 1 , β 2 , β 3 \boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\beta}_3 β 1 , β 2 , β 3 γ 1 , γ 2 \boldsymbol{\gamma}_1,\boldsymbol{\gamma}_2 γ 1 , γ 2 { β 1 = a 11 γ 1 + a 12 γ 2 β 2 = a 21 γ 1 + a 22 γ 2 β 3 = a 31 γ 1 + a 32 γ 2 (2) \begin{cases} \boldsymbol{\beta}_1=a_{11}\boldsymbol{\gamma}_1+a_{12}\boldsymbol{\gamma}_2\\ \boldsymbol{\beta}_2=a_{21}\boldsymbol{\gamma}_1+a_{22}\boldsymbol{\gamma}_2\\ \boldsymbol{\beta}_3=a_{31}\boldsymbol{\gamma}_1+a_{32}\boldsymbol{\gamma}_2 \end{cases}\tag{2} ⎩ ⎨ ⎧ β 1 = a 11 γ 1 + a 12 γ 2 β 2 = a 21 γ 1 + a 22 γ 2 β 3 = a 31 γ 1 + a 32 γ 2 ( 2 )
将(2)代入(1)： α = k 1 ( a 11 γ 1 + a 12 γ 2 ) + k 2 ( a 21 γ 1 + a 22 γ 2 ) + k 3 ( a 31 γ 1 + a 32 γ 2 ) = ( k 1 a 11 + k 2 a 21 + k 3 a 31 ) γ 1 + ( k 1 a 12 + k 2 a 22 + k 3 a 32 ) γ 2 \begin{align*} \boldsymbol{\alpha} &=k_1(a_{11}\boldsymbol{\gamma}_1+a_{12}\boldsymbol{\gamma}_2)+k_2(a_{21}\boldsymbol{\gamma}_1+a_{22}\boldsymbol{\gamma}_2)+k_3(a_{31}\boldsymbol{\gamma}_1+a_{32}\boldsymbol{\gamma}_2)\\ &=\big(k_1a_{11}+k_2a_{21}+k_3a_{31}\big)\boldsymbol{\gamma}_1 +\big(k_1a_{12}+k_2a_{22}+k_3a_{32}\big)\boldsymbol{\gamma}_2 \end{align*} α = k 1 ( a 11 γ 1 + a 12 γ 2 ) + k 2 ( a 21 γ 1 + a 22 γ 2 ) + k 3 ( a 31 γ 1 + a 32 γ 2 ) = ( k 1 a 11 + k 2 a 21 + k 3 a 31 ) γ 1 + ( k 1 a 12 + k 2 a 22 + k 3 a 32 ) γ 2
令
c 1 = k 1 a 11 + k 2 a 21 + k 3 a 31 , c 2 = k 1 a 12 + k 2 a 22 + k 3 a 32 c_1=k_1a_{11}+k_2a_{21}+k_3a_{31},\quad c_2=k_1a_{12}+k_2a_{22}+k_3a_{32} c 1 = k 1 a 11 + k 2 a 21 + k 3 a 31 , c 2 = k 1 a 12 + k 2 a 22 + k 3 a 32
得到
α = c 1 γ 1 + c 2 γ 2 \boldsymbol{\alpha}=c_1\boldsymbol{\gamma}_1+c_2\boldsymbol{\gamma}_2 α = c 1 γ 1 + c 2 γ 2
根据线性表示定义，α \boldsymbol{\alpha} α γ 1 , γ 2 \boldsymbol{\gamma}_1,\boldsymbol{\gamma}_2 γ 1 , γ 2
定义 ：设V V V n n n V V V α , β ∈ V \boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}\in V α , β ∈ V k k k
\alpha+\beta \in V,\quad k\alpha\in V $$就称集合$V$为一个向量空间（实质是$R^n$的子空间） # 做题总结 > [!summary] 题型一：判断$\boldsymbol{\beta}$能否由向量组$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\dots,\boldsymbol{\alpha}_n$线性表示，等价于：判断线性方程组 $x_1\boldsymbol{\alpha}_1+x_2\boldsymbol{\alpha}_2+\dots+x_n\boldsymbol{\alpha}_n=\boldsymbol{\beta}$ 是否有解。 > 设向量拼成增广矩阵 $\overline{A}=(A|\boldsymbol{\beta})$。 > 判定依据： > $r(A)=r(\overline{A}) \iff$ 有解（可线性表示）； > $r(A)\neq r(\overline{A}) \iff$ 无解（不可线性表示）。 > 1. **矩阵无参数（全常数）** ✅ 首选：初等行变换 → 行阶梯 / 行最简形 无需行列式，直接化简求秩、求解。 > > 2. **矩阵含参数，系数矩阵是方阵（向量个数=向量维数）** > ✅ 优先：行列式划分参数范围，仅分界点参数代入再做行变换； > ⚠️ 可选：直接化行阶梯讨论，计算量大，容易出错。 > > 3. **矩阵含参数，非方阵（向量个数≠向量维数）** > ❌ 不能计算行列式！ ✅ 只能对增广矩阵初等行变换，化成行阶梯，根据主元位置分类讨论秩 ## 例题一：常数矩阵（无参数） 设 $\boldsymbol{\alpha}_1=(1,2,3)^T,\ \boldsymbol{\alpha}_2=(1,3,4)^T,\ \boldsymbol{\alpha}_3=(2,-1,1)^T,\ \boldsymbol{\beta}=(2,5,t)^T$。 问 $t$ 取何值时： (1) $\boldsymbol{\beta}$ 不能由 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$ 线性表示； (2) $\boldsymbol{\beta}$ 可以由 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$ 线性表示，并求出表达式。 ### 解题过程 设 $\boldsymbol{\beta}=x_1\boldsymbol{\alpha}_1+x_2\boldsymbol{\alpha}_2+x_3\boldsymbol{\alpha}_3$，写出增广矩阵：
\overline{A}=
**第一步：初等行变换化为行阶梯形** $r_2-2r_1,\ r_3-3r_1$：
\to
$r_3-r_2$：
\to
**第二步：分类讨论** **(1) 不能线性表示** 当 $t-7\neq 0$，即 $\boldsymbol{t\neq 7}$ 时，$r(A)=2,\ r(\overline{A})=3$，方程组无解。 **(2) 可以线性表示** 当 $\boldsymbol{(\boldsymbol{t=7})}$ 时，$r(A)=r(\overline{A})=2<3$，有无穷多解。 继续化为行最简形，$r_1-r_2$：
\left(\begin{array}{ccc|c}
主元变量：$x_1,x_2$；自由未知量：$x_3$。
\begin{cases}
令 $x_3=k$（$k\in\mathbb{R}$），通解：
\begin{cases}
表达式： $$\boldsymbol{\beta}=(1-7k)\boldsymbol{\alpha}_1+(1+5k)\boldsymbol{\alpha}_2+k\boldsymbol{\alpha}_3,\quad k\in\mathbb{R}
设 α 1 = ( 1 + λ , 1 , 1 ) T , α 2 = ( 1 , 1 + λ , 1 ) T , α 3 = ( 1 , 1 , 1 + λ ) T , β = ( 0 , λ , λ 2 ) T \boldsymbol{\alpha}_1=(1+\lambda,1,1)^T,\ \boldsymbol{\alpha}_2=(1,1+\lambda,1)^T,\ \boldsymbol{\alpha}_3=(1,1,1+\lambda)^T,\ \boldsymbol{\beta}=(0,\lambda,\lambda^2)^T α 1 = ( 1 + λ , 1 , 1 ) T , α 2 = ( 1 , 1 + λ , 1 ) T , α 3 = ( 1 , 1 , 1 + λ ) T , β = ( 0 , λ , λ 2 ) T λ \lambda λ β \boldsymbol{\beta} β α 1 , α 2 , α 3 \boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3 α 1 , α 2 , α 3 β \boldsymbol{\beta} β α 1 , α 2 , α 3 \boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3 α 1 , α 2 , α 3
因为系数矩阵 A A A 选用行列式划分参数范围 。第一步：计算系数行列式
∣ A ∣ = ∣ 1 + λ 1 1 1 1 + λ 1 1 1 1 + λ ∣ |A|= \begin{vmatrix} 1+\lambda & 1 & 1\\ 1 & 1+\lambda & 1\\ 1 & 1 & 1+\lambda \end{vmatrix} ∣ A ∣ = 1 + λ 1 1 1 1 + λ 1 1 1 1 + λ
第2、3列加到第1列，提取公因子 λ + 3 \lambda+3 λ + 3
∣ A ∣ = ( λ + 3 ) ∣ 1 1 1 1 λ + 1 1 1 1 λ + 1 ∣ = λ 2 ( λ + 3 ) |A|=(\lambda+3) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & \lambda+1 & 1\\ 1 & 1 & \lambda+1 \end{vmatrix} =\lambda^2(\lambda+3) ∣ A ∣ = ( λ + 3 ) 1 1 1 1 λ + 1 1 1 1 λ + 1 = λ 2 ( λ + 3 )
令 ∣ A ∣ = 0 |A|=0 ∣ A ∣ = 0 λ = 0 \boldsymbol{\lambda=0} λ = 0 λ = − 3 \boldsymbol{\lambda=-3} λ = − 3 第二步：分情况讨论 情况①：λ ≠ 0 \boldsymbol{\lambda\neq 0} λ = 0 λ ≠ − 3 \boldsymbol{\lambda\neq -3} λ = − 3 ∣ A ∣ ≠ 0 |A|\neq 0 ∣ A ∣ = 0 A A A 有唯一解 ，β \boldsymbol{\beta} β ( λ + 3 ) ( x 1 + x 2 + x 3 ) = λ ( λ + 1 ) (\lambda+3)(x_1+x_2+x_3)=\lambda(\lambda+1) ( λ + 3 ) ( x 1 + x 2 + x 3 ) = λ ( λ + 1 )
x 1 + x 2 + x 3 = λ ( λ + 1 ) λ + 3 x_1+x_2+x_3=\frac{\lambda(\lambda+1)}{\lambda+3} x 1 + x 2 + x 3 = λ + 3 λ ( λ + 1 )
分别减去原方程，约去 λ ≠ 0 \lambda\neq 0 λ = 0
x 1 = λ + 1 λ + 3 , x 2 = 2 λ + 3 , x 3 = λ 2 + 2 λ − 1 λ + 3 x_1=\frac{\lambda+1}{\lambda+3},\quad x_2=\frac{2}{\lambda+3},\quad x_3=\frac{\lambda^2+2\lambda-1}{\lambda+3} x 1 = λ + 3 λ + 1 , x 2 = λ + 3 2 , x 3 = λ + 3 λ 2 + 2 λ − 1
表达式：
β = λ + 1 λ + 3 α 1 + 2 λ + 3 α 2 + λ 2 + 2 λ − 1 λ + 3 α 3 \boldsymbol{\beta}=\frac{\lambda+1}{\lambda+3}\boldsymbol{\alpha}_1+\frac{2}{\lambda+3}\boldsymbol{\alpha}_2+\frac{\lambda^2+2\lambda-1}{\lambda+3}\boldsymbol{\alpha}_3 β = λ + 3 λ + 1 α 1 + λ + 3 2 α 2 + λ + 3 λ 2 + 2 λ − 1 α 3
情况②：λ = 0 \boldsymbol{\lambda=0} λ = 0 ∣ A ∣ = 0 |A|=0 ∣ A ∣ = 0 x 1 + x 2 + x 3 = 0 x_1+x_2+x_3=0 x 1 + x 2 + x 3 = 0 r ( A ) = r ( A ‾ ) = 1 < 3 r(A)=r(\overline{A})=1<3 r ( A ) = r ( A ) = 1 < 3 有无穷多解 。x 2 = k , x 3 = t x_2=k,\ x_3=t x 2 = k , x 3 = t x 1 = − k − t x_1=-k-t x 1 = − k − t
β = ( − k − t ) α 1 + k α 2 + t α 3 , k , t ∈ R \boldsymbol{\beta}=(-k-t)\boldsymbol{\alpha}_1+k\boldsymbol{\alpha}_2+t\boldsymbol{\alpha}_3,\quad k,t\in\mathbb{R} β = ( − k − t ) α 1 + k α 2 + t α 3 , k , t ∈ R
注：λ = 0 \lambda=0 λ = 0 β = ( 0 , 0 , 0 ) T \boldsymbol{\beta}=(0,0,0)^T β = ( 0 , 0 , 0 ) T
情况③：λ = − 3 \boldsymbol{\lambda=-3} λ = − 3 ∣ A ∣ = 0 |A|=0 ∣ A ∣ = 0
A ‾ = ( − 2 1 1 0 1 − 2 1 − 3 1 1 − 2 9 ) \overline{A}= \begin{pmatrix} -2 & 1 & 1 & 0\\ 1 & -2 & 1 & -3\\ 1 & 1 & -2 & 9 \end{pmatrix} A = − 2 1 1 1 − 2 1 1 1 − 2 0 − 3 9
行变换后出现矛盾行 ( 0 = 6 ) (0=6) ( 0 = 6 ) r ( A ) = 2 , r ( A ‾ ) = 3 r(A)=2,\ r(\overline{A})=3 r ( A ) = 2 , r ( A ) = 3 无解 。⇒ λ = − 3 \Rightarrow \lambda=-3 ⇒ λ = − 3 β \boldsymbol{\beta} β 不能 线性表示。
情况 条件 结论 唯一表示 λ ≠ 0 \lambda\neq 0 λ = 0 λ ≠ − 3 \lambda\neq -3 λ = − 3 可唯一线性表示 无穷多表示 λ = 0 \lambda=0 λ = 0 可线性表示，无穷多种 不能表示 λ = − 3 \lambda=-3 λ = − 3 不能线性表示
